Giải toán bằng phương pháp đại lượng cực biên

Trong cuốn sách Những phương pháp điển hình trong giải toán phổ thông của tác giả có đề cập đến phương pháp phần tử cực biên. Phương pháp này đã lợi dụng phần tử gọi là đại lượng cực biên theo một nghĩa nào đó như nhỏ nhất, lớn nhất, các điểm đầu của đoạn thẳng, phần tử nằm ở ranh giới giữa phần trong và phần ngoài một tập, … Nội dung cuốn sách Giải toán bằng phương pháp đại lượng cực biên khảo sát rất kĩ những kĩ thuật và cách sử dụng đại lượng cực biên để giải toán. Rất nhiều bài toán mới được giải bằng phương pháp đại lượng cực biên. Một số tài liệu trong nước gọi phương pháp này là phương pháp cực hạn. Để thể hiện bản chất của phương pháp, tác giả gọi nó là phương pháp đại lượng cực biên. Bởi vì khi giải bài toán, ta đã dùng đại lượng cực biên làm mấu chốt cho xuất phát và lý luận. Mặt khác, đại lượng cực biên trong mỗi bài toán cụ thể là khác nhau, nhưng có tính chất chung là các phần tử này nằm giữa miền xác định và miền không xác định của bài toán theo một nghĩa nào đó.
nào. Chương hai trình bày các kĩ thuật chứng minh hoặc tính toán sử dụng phương pháp đại lượng cực biên, nhất là dùng lý luận phản chứng với đại lượng cực biên, sắp xếp thứ tự các phần tử, … Những kĩ thuật này được áp dụng rất nhiều cho các chương sau. Chuyên đề của chương này là đưa thứ tự vào cho một tập hợp bất kì chứ không phải chỉ là tập hợp số nguyên. Điều quan trọng là sắp xếp như thế nào để thể hiện nguyên lý thứ tự và sử dụng giải bài toán. Chương ba ứng dụng phương pháp đại lượng cực biên vào hình học với các đại lượng cực biên đa dạng như số đo góc, độ dài cạnh, … Rất nhiều bài toán hình học không thể giải bằng cách khác hay hơn. Chuyên đề của chương này là bài toán Sylvester-Gallai và những mở rộng của nó. Chương bốn lại là ứng dụng phương pháp đại lượng cực biên vào số học và đại số với đại lượng cực biên là số nhỏ nhất và lớn nhất. Đặc biệt, chuyên đề quan trọng là phương pháp xuống thang trong số học, phương pháp này đã có lịch sử từ thời Fermat. Chương năm về giải tích liên quan tới các định lý nổi tiếng như: định lý giá trị trung bình, định lý giá trị trung gian, định lý Rolle,… cho các hàm liên tục xác định trên một đoạn, mà giá trị hàm số tại hai đầu mút quyết định nội dung định lý. Từ những định lý cơ bản này, rất nhiều bài toán được giải cũng chỉ cần sử dụng giá trị hai đầu mút của đoạn thẳng là đủ… Chương sáu về hàm lồi và tính chất của hàm lồi đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các điểm cực biên trên miền xác định của nó. Cụ thể, nếu hàm lồi xác định trên đoạn thẳng hoặc miền đa giác, thì nó đạt cực trị tại hai đầu đoạn thẳng hoặc tại các đỉnh của đa giác. Hàng loạt bài toán dùng đại lượng cực biên của hàm lồi để giải một cách rất lý thú.

Cuốn sách dành cho học sinh phổ thông yêu toán, học sinh khá giỏi môn toán, các thầy cô giáo, sinh viên đại học ngành toán, ngành tin học và những người yêu thích toán học phổ thông. Trong biên soạn, chúng tôi không thể tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn, rất mong bạn đọc cho ý kiến. Mọi góp ý gửi về địa chỉ: Ban biên tập sách Toán, Nhà xuất bản Giáo dục tại Hà Nội, 187B Giảng Võ, Hà Nội.

Tác giả cảm ơn ban biên tập Toán – Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội đã hết sức giúp đỡ để cuốn sách được in ra. Tác giả đặc biệt cảm ơn biên tập viên, TS. Phạm Thị Bạch Ngọc đã đọc kĩ bản thảo và bổ sung rất nhiều ý kiến có giá trị để hoàn thiện cuốn sách.

Hà Nội, ngày 2 tháng 9 năm 2005

Nguyễn Hữu Điển

Nguyên lý thứ tự của số học là mấu chốt của phương pháp đại lượng cực biên. Ngay từ Chương một, ta sẽ thấy những bài toán giải được bằng phương pháp quy nạp thì đều giải được bằng phương pháp đại lượng cực biên thông qua nguyên lý thứ tự. Như vậy, ta thấy ngay được hai cách giải loại bài toán này là phương pháp quy nạp toán học và phương pháp dùng nguyên lý thứ tự. Trong phần này các bạn sẽ thấy mối liên kết giữa hai nguyên lý chặt chẽ như thế